余弦定理公式:正弦定理、余弦定理

闻万夫来自:美国 纽约州 纽约大学 时间:2020-03-23 23:29:26 坐标: 2950

精选的余弦定理公式:正弦定理、余弦定理

学科:数学

教学内容: 正弦定理、余弦定理

【基础知识精讲】

1.正弦定理、三角形面积公式

正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于该三角形外接圆的直径,即:===2R.

面积公式:S=bcsinA=absinC=acsinB.

2.正弦定理的变形及应用

变形:(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

(2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c

(3)sinA=,sinB=,sinC=.

应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题:

a.已知两角和任一边,求其他两边和一角.

b.已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.

一般地,已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解、一解、无解三种情况.

A为锐角时

A为直角或钝角时.

(2)正弦定理,可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如:在判断三角形形状时,经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替.

3.余弦定理

在△ABC中,有a2=b2 c2-2bccosA;

b2=c2 a2-2accosB;

c2=a2 b2-2abcosC;

变形公式:

cosA=,cosB=,cosC=

在三角形中,我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素,只要已知其中的三个元素(至少一个是边),便可以求出其余的三个未知元素(可能有两解、一解、无解),这个过程叫做解三角形,余弦定理的主要作用是解斜三角形.

4.解三角形问题时,须注意的三角关系式:A B C=π

0<A,B,C<π

sin=sin=cos

sin(A B)=sinC

特别地,在锐角三角形中,sinA<cosB,sinB<cosC,sinC<cosA.

【重点难点解析】

掌握正、余弦定理,并学会用其余弦定理解三角形.

1在△ABC中,已知A>B>C,且A=2C,b=4,a c=8,求a、c的长.

解:由正弦定理=及A=2C得=,即=,

cosC=.

由已知a c=8=2b及余弦定理,得

cosC==

==.

=,整理得(2a-3c)(a-c)=0

a≠c,∴2a=3c.

a c=8,∴a=,c=.

2在△ABC中,如果lga-lgc=lgsinB=-lg,且B为锐角,试判断此三角形的形状.

解:lga-lgc=lgsinB=-lg,

sinB=

又∵0°<B<90°,∴B=45°

lga-lgc=-lg,得= .

由正弦定理得= .

2sin(135°-C)= sinC

2[sin135°cosC-cos135°sinC]=sinC.

cosC=0,得C=90°

又∵A=45°,∴B=45°

从而△ABC是等腰直角三角形.

3如图已知:平行四边形两邻边长为a和b(a<b),两对角线的一个交角为θ(0°<θ<90°),求该平行四边形的面积.

分析:由于已知了平行四边形相邻两边长和对角线的一个交角,再考虑到平行四边形的面积是△AOB的四倍,因此只要求OA·OB·sinθ即可.

解:设平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O.AB=a,BC=b,∠AOB=θ,又设OA=x,OB=y.

在△AOB中,应用余弦定理可得:

a2=x2 y2-2xycosθ

在△BOC中,应用余弦定理可得:

b2=x2 y2-2xycos(180°-θ)

由②-①得:

b2-a2=4xycosθ

0°<θ<90°,∴xy= (b>a)

S=4S△AOB=2xysinθ=tanθ

4在△ABC中,已知4sinBsinC=1,b2 c2-a2=bc,且B>C,求A、B、C.

分析:由于题设条件b2 c2-a2=bc十分特殊,将它与余弦定理对照可得A=60°,这样B C=120°,于是再利用条件4sinBsinC=1,可求得B与C.

解:由余弦定理cosA===.

又∵0°<A<180°

A=60°

B C=120°,又由于4sinBsinC=1

4sinBsin(120°-B)=1

4sinB(cosB sinB)=1

sin2B 2sin2B=1

sin2B=cos2B

tan2B=,∴2B=30°或2B=210°

由于B C=120°,且B>C,60°<B<120°

2B=210°,

B=105°,从而C=15°

A=60°,B=105°,C=15°

5已知△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且a c=2b,A-C=,求sinB的值.

解法一:由正弦定理和已知条件a c=2b,得sinA sinC=2sinB,由和差化积公式得

2sin·cos=2sinB

A B C=π,得

sin=cos

A-C=,得

cos=sinB

cos=2sin·cos

又∵0<,cos≠0

sin=

从而cos==

sinB=· =.

解法二:由正弦定理和已知条件a c=2b,得sinA sinC=2sinB

A-C=,A B C=π

两式相减可得B=-2C

sin( C) sinC=2sinB

sincosC cossinC sinC=2sinB

cosC sinC=2sinB

cos(-C)=2sinB

cos=4sin·cos

0<B<π,∴cos≠0

sin=

cos==

sinB=·cosB=

【难题巧解点拔】

1△ABC中,若a=5,b=4,cos(A-B)=,求AB.

分析:很明显,只要求cosC的值,应用余弦定理即可求出AB.

解法一:由已知条件a=5,b=4

===9,①由已知cos(A-B)= ,根据半角公式有

sin==,cos==

代入①式得tg=∵tg=ctg,

tg= ,根据万能公式cosC=

c2=a2 b2-2abcosC=36,AB=c=6

解法二:A>B,如图,作∠BAD=∠B,∴AD=BD

CAD=∠A-∠B令AD=BD=y,CD=x,

由余弦定理cos(A-B)== ,x=a-y,

= ,y=4,x=1

CAD中再由余弦定理cosC=,∴c=6

评析:上述解法反映边向角的转化,也可由角向边转化直接求出边.

2半圆O的直径为2,A为直径延长线上的一点,且OA=2,B为半圆周上任意一点以AB为边向形外作等边三角形ABC(如图),问B点在什么位置时,四边形OACB的面积最大,并求出这个最大面积.

解:设∠AOB=x,则

S△AOB=·2·1·sinx=sinx,

AB2=OA2 OB2-2·OA·OB·cosx=5-4cosx.

S△ABC=AB2= (5-4cosx)= -cosx

SOACB=S△AOB S△ABC

=sinx-cosx

=2sin(x-)

0<x<π,- <x-∴x-=时,

∴即x=时,SOACB有最大值2 (平方单位)

3已知△ABC中,AB=AC=a,∠BAC=φ,等边三角形PQR的三边分别通过A,B,C三点.试求△PQR的面积的最大值.

分析:先依题意画出图形(如图).因为变动三角形PQR为正三角形,它的面积S=PQ2,问题可转化为求边长PQ的最大值.为此需要建立PQ的函数式,这又必须选取适当的量作为自变量.观察图形可以发现,PQ的位置是随着∠PAB的大小变化而变化的.不妨就以∠PAB为自变量.以下的程序就是应用三角形的边角关系,求出以∠PAB的三角函数表示PQ的解析式,最后求它的最大值.

解:设∠PAB=x,那么∠PBA=120°-x,∠QAC=180°-x-φ,∠QCA=x φ-60°.

在△PAB中,∵=

PA=sin(120°-x),

在△AQC中,=

AQ=sin(x φ-60°)

PQ=PA AQ=[sin(120°-x) sin(x φ-60°)]

=sin( 30°)cos(90°--x).

因为其中a, 30°都是常量,所以当90°--x=0即x=90°-时,取得

(PQ)max=sin( 30°)

同时也就取得了

(S)max= (PQ)2max

=a2sin2( 30°)

4在△ABC中,已知A=,求证:<c-a<.

证明:在△ABC中,由A=,得C=2A,∴B=π-3A,∴0<A<

===

====.

0<A<,∴<cosA<1,即2<2cosA 1<3∴,故<c-a<.

评析:解本题的关键是利用正弦定理及三角公式将转化为,结合角A的取值范围推得结论.

【课本难题解答】

课本第132页,习题5.9第8题:

F|≈132N,β≈38°

9题

两条对角线的长分别是4cm和4cm,面积是48cm2.

【命题趋势分析】

本节主要考查:1.根据已知条件,求三角形的末知元素,或判断三角形的形状.

2.运用正、余弦定理及关系式A B C=π解决三角形中的计算和证明问题.

3.利用所学的三角知识解决与三角形有关的三角函数问题和简单的实际问题.

根据考试的方向,可以预见,利用正、余弦定理解斜三角形问题将会与三角函数、数列、方程、向量等知识相结合,尤其是与生活、生产、科学实验实际相结合,考查综合运用数学知识的能力.

【典型热点考题】

1在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,设a c=2b,A-C=,求sinB的值.

解:根据正弦定理和已知可得:sinA sinC=2sinB,A B C=π

2sin·cos=2sinB.

A-C=,sin=cos

2coscos=2sinB=4sincos

又∵0<

sin=

cos==

sinB=2··=

2若△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,且最大边为最小边的2倍,则三内角之比为.

解:设三角形三内角从小到大依次为B-d,B,B d,

B-d B B d=180°∴B=60°

设最小边为x,则最大边为2x,

从而=tand=,d=30°

所以三内角分别为A=30°,B=60°,C=90°,得三内角之比为1∶2∶3.

∴应填1∶2∶3.

3在△ABC中,A、B、C三顶点所对边分别为a,b,c,试证明b2=c2 a2-2accosB.

证明:因为=

则有:2=·=( )·( )

=2 2 2·

=2 2 2||·||cos(180°-B)

=c2 a2-2ac·cosB

所以b2=c2 a2-2ac·cosB

4求sin220° cos280° sin20cos80°的值.

解:设△ABC中的A=10°,B=20°,C=150°对应边分别为a,b,c.

ABC的外接圆半径为2R,则由正弦定理得:

a=2Rsin10°,b=2Rsin20°,c=2Rsin150°

由余弦定理,得:

(2Rsin150°)2=(2Rsin10°)2 (2Rsin20°)2-2(2Rsin10°)(2Rsin20°)cos150°即:sin2150°=sin210° sin220° sin10°sin20°

则:cos280° sin220° sin20°cos80°=

说明:本题采用了构造法,题中余弦变正弦之后,注意到=-2cos(180°-10°-20°).

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我们找到第60篇与勾股定理的历史有关的信息,分别包括:

以下是的一些我们精选的勾股定理的历史

寒香物语

看到这些可能要颠覆你的认知,但这就是事实,希望带给各位的是不仅仅是认知,而是反思!我们常常沉浸在中华的地大物博的美好中,但是,如果我们忘记了未来的文明才是世界的主流的时候,我们又会与世界掉队!

余弦定理公式:正弦定理、余弦定理:

古希腊人知道大地是球体。古希腊人埃拉托斯特尼在公元前测算出地球周长为39000公里。2000年后启蒙了中国。

玻璃发明于5500年前,中国还在原始社会。

西洋陆棋发明于5000年前,中国还在原始社会。

明朝李时珍的《本草纲目》中记载:鞋底泥,、粪坑泥、烂草鞋、洗脚水、狗屎汁、猪槽垢、香炉灰、裹脚布、月经布、脏内裤、吊死人的绳子……都是药。这跟其他国家古代科学相比,如3800年前的莫斯科数学手卷 《Moscow papyrus》和3600年前林德数学手卷《Rhind papyrus》;以及2000多年前的阿波罗尼奥斯的《速算》、《不规则无理数》,欧几里德的《几何原本》、《现象》、《光学》、《反射光学》,帕普斯的《数学汇编》,托勒密的《光学》、《行星假说》、《天文学大成》,阿基米德的 《抛物线求积》等等等等科学成就相比,是裹脚布“科学”和科学之间的差别。

余弦定理公式:正弦定理、余弦定理:

以下是真实的事件

中国古代搞出板凳,搞不出椅子。椅子要上溯到汉魏时传入的胡床。

中国古代音律只知道5音(“5音不全”), 7音是西方传来的。

中国古代没有发明标点。

中国古代连加减乘除等于之类的运算符号都发明不了。

欧洲马车用弹簧减震已经有多个世纪;清朝皇帝的马车用麻草或布帛减震。

中国发明不了硬笔(铅笔、钢笔、圆珠笔),墨水瓶,西式墨水。用毛笔、砚,墨水要现磨。2000年来没法随时拿出笔写字。

4300多年前,巴比伦已经记载了制造肥皂的公式。意大利庞贝城(2000多年前)废墟中,挖掘出肥皂工厂。圣经上亦提及肥皂。天朝100年前听说了肥皂。

鞋子。中国古代鞋子连左右都不会分,秦兵马俑的鞋子左右不分。

中国对科学的贡献远低于世界平均

不是靠西方科学,只怕连静脉、动脉还没分清楚。人均寿命大概跟清朝一样30出头。现代医学建立在解刨学至上,中国古代是没有建立解刨学的知识体系的。

所谓5000年提出的公式基本为0,主要的原因是因为读书为了做官!

科技书籍的内容基本是外国人的原稿。

对科学的贡献远低于世界平均。

电灯,电报,电话,收音机,电影,电视,键盘,电脑,互联网,复印件,传真机,电扇,空调,洗衣机,汽车,列车,飞机,潜水艇,卫星(俄国),飞船(俄国),太空站(俄国),元素周期表(俄国),火箭(俄国),直升机(俄国人),机器人……伟大的发明都是外国或者西方的。

连个中文键盘都没发明出来。

中国不可能靠自己发明出计算机,进入信息时代。

电子计算机、光子计算机、量子计算机、生物计算机、DNA计算机的概念和发明都和中国无关。

余弦定理公式:正弦定理、余弦定理:

所谓中国的发明基本不是真的

勾股定理。约公元前100年中国的《周髀算经》记录了勾股定理:勾3股4弦5。

公元前1800年巴比伦记录了15组勾股数,最大的一个勾股数是(18541,12709,13500)。公元前6世纪古希腊提出了毕达哥拉斯定理,A平方=B平方+C平方。中国“发明”的是一个别人早已发现的最简单的勾股数,根本不是个定理。

2进制。

有人说中国发明了2进制,证据是中国发明了八卦。

2进制有2个数值1和0。

2进制的0是0。

2进制的1是1。

2进制的2是10。

2进制的3是11。

2进制的4是100。

不是靠国外引进,中国连2进制的概念都没有,倒是真的。

现代的进步是西方文明渗透的结果

历法——中国农历是德国人汤若望根据公元前的古希腊历制定的。

元朝时,波斯人扎马鲁丁参照伊斯教历制定《回回历》和《万年历》。

中国的《授时历》及《大统历》 均参照伊斯教历制定。

地图——公元前六世纪的巴比伦世界地图,是最古老的世界地图。元朝时,波斯人扎马鲁丁用阿拉伯制图技术制作了中国历史上第一个全国地理总图《元大一统志》。明朝时,意大利人利玛窦制作了中国历史上第一个世界地图《坤舆万国全图》。

几何学——中国明朝开始系统学习平面几何,清朝才开始学习立体几何,课本是意大利人利玛窦带来的《几何原本》,古希腊公元前欧几里德的著作。利玛窦带人翻译欧几里得的《几何原本》等书。许多中文几何词汇,例如点、线、面、平面、直角、锐角、钝角、曲线、垂线、平行线、对角线、三角形、四边形、多边形、圆心、外切、几何,以及星期等等都是由他们创造。

华人中学数学水平“很高”,但是没有几个数学公式是华人搞出来的。

数学大师丘成桐先生认为:不要说美国,俄罗斯,英国,法国,德国,意大利,荷兰,加拿大,瑞典,以色列,日本,就是连瑞士的数学水平都超过中国。

太空船,太空站——科技上俄罗斯人发明了元素周期表,火箭,直升机,卫星,天空船,太空站。

中国J10战机发动机是俄罗斯提供的。

99坦克发动机是乌克兰提供的。

敬爱的读者,当您读到这里的时候,想必又要骂我们通往知识之路了,的确,我们,我们是破坏了一点点东方文明的伟岸形象,但是,这不是我们的目的,我们真正想表达的是:我们需要看清真实的面目,知道自己的不足和缺陷,才能让我们更加的文明,才能让我们的民族变得更加优秀。

无需谩骂,无须气馁。我们文明的落后并非因为种族或者其它的原因,主要的原因来自我们过去是官吏文化,知识和读书都是为了做官,这整个导向使得我们没有足够的人才和资源投入到科学和科学的领域。

最后,好吧,我们 通往知识之路 本期又做了一次汉奸。但,作为汉奸的我们也真心期望这一切都好起来!毕竟,这是我们的故乡,这是我们的家园。

最新勾股定理的历史可以看看这篇名叫25 位英年早逝的历史神奇人物的文章,可能你会获得更多勾股定理的历史

我们找到第1篇与25 位英年早逝的历史神奇人物有关的信息,分别包括:

以下是的一些我们精选的25 位英年早逝的历史神奇人物

古今中外,有太多的杰出的人英年早逝。有没有想过都有谁呢?下面我们列出了 25 个神奇性的历史人物,他们过早地离开人世,不禁让人想到如果这些神奇能活到老年是不是能谱写出更多卓越的成就。

25 西尔维娅普拉斯(Sylvia Plath)

西尔维娅普拉斯是美国诗人,代表作为小说《瓶中美人》和诗集《巨人》、《阿丽尔》。她 8 岁就开始写诗,第一首诗就发表在《波士顿旅行者》上,在进入史密斯学院之前就已经在许多杂志上发表过五十多个短篇故事。不幸的是,她在 30 岁的那年用结束了自己辉煌的文学之路。

24 拉尔夫斯坦曼(Ralph Steinman)

拉尔夫马文斯坦曼是加拿大杰出的免疫学家和细胞生物学家,就职于洛克菲勒大学。尽管诺贝尔奖一般不颁给去世的人,但他在去世 3 个月后还是获得了 2011 年诺贝尔生物和医学奖。

23 宝嘉康丽(Pocahontas)

宝嘉康丽是波瓦坦(Powhatan)的女儿,波瓦坦是居住在弗吉尼亚区阿尔贡金印第安人的首领。宝嘉康丽之所以有名是因为救了约翰史密斯船长的性命,并在英国殖民者到达的第一年给他们了帮助。她在 20 岁左右疑似因肺炎或肺结核去世。随着时间流逝,她的故事常被加上浪漫的色彩,并被改编为艺术、文学和电影。

22 珀西比希雪莱(Percy Bysshe Shelley)

雪莱是 19 世纪最负盛名的浪漫主义诗人之一,他的长篇抒情诗热情奔放,经久不衰。他在还差 1 个月满 30 岁时在意大利死于海难。其作品有《暴政的假面游行》和《麦布女王》等。文学评论家和历史学家认为如果他可以活得更久,诗坛会有更多精彩的作品。

21 简格雷(Jane Grey)

简格雷,也就是九日女王,是英国的贵族,也是英国和爱尔兰 1553 年 7 月 10 日至 19 日的统治者。她接受过良好的人文教育,并且是在她同期的执政者(比如戴安娜女王)之中最善良最乐于助人的。但她在 17 岁时就被政敌迫害致死。

20 少年国王——亨利(Henry the Young King)

少年国王亨利是唯一一位在父亲活着的时候加冕的英国国王。英国的民众非常爱戴他,所以称他为 " 少年国王亨利 ",许多家族都将他待其如子。他在 1183 年夏天死于痢疾,年仅 28 岁,当时他还在与他的父亲和兄弟理查德抗争。

19 亨利莫斯莱(Henry Moseley)

亨利莫斯莱是一位技术高超的实验物理学家。在 1913 年,他用自制的设备证明了元素的主要特性由其原子序数决定。他的发现让他肯定地预测出 4 种新元素的存在,现在这些元素都已经被发现了。第一次世界大战爆发后,莫斯莱结束了牛津大学的研究工作,加入了英国陆军皇家工兵。不幸的是,他于 1915 年 8 月 10 日在加里波利之战之中战死,年仅 27 岁。历史学家和他所在领域的专家们称他如果没有被杀害,或许可以获得 1916 年诺贝尔物理学奖。

18 弗朗兹舒伯特(Franz Schubert)

弗朗兹舒伯特被认为是最后一位古典作曲家和早期浪漫主义音乐的代表人之一。舒伯特的音乐悦耳和谐。他的朋友诗人弗朗茨格里帕泽为他写了墓志铭,表达了他 31 岁便去世和世间少了许多大师乐曲的遗憾。但是,许多专家不同意这种说法,认为舒伯特曲作颇丰,应该无甚遗憾。

17 埃贡席勒(Egon Schiele)

埃贡席勒是奥地利非常有才华的画家,他的作品表现力强烈,展现原始的性冲动。埃贡席勒被认为是表现主义的突出代表之一。1918 年西班牙大流感期间,他不幸染上疾病,生命和事业 28 岁那年戛然而止。在他死前 3 天,妻子伊迪斯(Edith)就离他而去了,但在这 3 天,他画了他妻子的一些素描,这些素描被认为是艺术经典。

16 哈利达哈林(Harry Daghlian)

美国物理学家哈利达哈林是曼哈顿计划的一部分,该项目位于新墨西哥州洛斯阿拉莫斯国家实验室一个叫欧米茄的偏远设施点。在 1945 年 8 月 21 日,在一次十分重大的实验中,他不小心将碳化钨砖掉进了钚弹芯中。虽然他中止了反应,但是已经受到了过多的辐射,25 天后便死亡,当时他才 24 岁。专家们预测他本来可以有着光明的前途。

15 曼弗雷德冯李希霍芬(Manfred von Richthofen)

" 红男爵 " 是历史上战斗机飞行员中最负有盛名又最实至名归的一位,他隶属德国军队,官方记载他在第一次世界大战中取得 80 场空战胜利。虽然他在 25 岁就不幸战死,但他的卓越战功还是被许多书籍、电影等传颂。

14 安妮弗兰克 (Anne Frank)

安妮弗兰克在犹太人大屠杀期间还是少女,她在四处漂泊、躲藏时将自己的经历记录下来,成为后来有名的《安妮日记》。不幸的是,她于 1945 年 2 月或 3 月在贝尔根贝尔森集中营去世(可能死于斑疹伤寒),当时离盟军解放集中营只差了几个月。她去世时仅 15 岁。她的日记在 1952 年用英文首次发表 ,名为《一个少女的日记》,之后被翻译成 60 多种语言在世界各地出版。

13 拉古格亚斯首(Lungtok Gyatso)

拉古格亚斯首是西藏第九任达赖喇嘛,也是唯一一个在童年就去世的达赖喇嘛,他死于 1815 年 3 月 6 日。据当地历史学家报道,西藏当地的民众因为他的去世感到非常痛苦,以至于整个地区都陷入悲痛,这份痛苦一直持续了 8 年,直到下一位新喇嘛转世为止。

12 希帕蒂娅(Hypatia)

希帕蒂娅是古希腊的女性天文学家、数学家和哲学家。她在亚历山大省教哲学和天文学,是那儿新柏拉图哲学学派的学术领袖。虽然她具体的死亡时间并不可考,但可知的是,她被西里尔主教及其拥趸在公元 415 年 3 月 8 日所迫害。她是当时基督教迫害的众多受害者之一,并且她的死亡在现在看来极具历史性。比如,凯斯林广(Kathleen Wider)认为她的死亡标志着古典时代的结束,斯蒂芬格林布拉特(Stephen Greenblatt)认为她的死标志着亚历山大思想时代的没落。

11 詹姆斯克莱顿(James Crichton)

詹姆斯克莱顿,被称为多才多艺的克莱顿,因其在语言学、艺术和科学等各领域的突出成就而被授予苏格兰绅士爵位。正是因为这样,很多人喜欢拿他与列奥纳多达芬奇进行比较。不幸的是,他仅在 21 岁的时候就不幸在剑斗中丧生,以至于人们都还没有真正了解到他的才华。

10 尤里加加林(Yuri Gagarin)

1934 年,尤里加加林生于前苏联的一个小镇的木匠家庭。1961 年,他代表人类首次登上太空,原本会成为 20 世纪最令人尊敬的人,受到万人称颂。但不幸的是,仅仅在他登上太空七年后,在一次例行飞行训练中,他驾驶米格 -15 号歼击机遭遇空难,坠毁于基尔扎奇附近。当时他仅 34 岁,还有许许多多关于外太空的故事没来得及向人们诉说。

9 莫扎特(Wolfgang Amadeus Mozart)

莫扎特被称为神童,是音乐史上最负盛名也最有影响力的音乐家之一。现代社会的歌剧、体育赛事、电影、话剧、政治运动等,只要涉及到他的音乐,都被深深烙印上莫扎特的痕迹。他一生作曲达 600 多首,其生命却令人扼腕地终结在 35 岁。所有人都认为哪怕他再多活久一点点,整个古典音乐世界都会因为他的创作变得丰富得多。

8 梵高(Vincent van Gogh)

虽然梵高在很多人眼中是有史以来最伟大的画家,但实际上在他生前不过卖出了一幅画而已,那就是《红色葡萄园》。如今这幅画被珍藏在莫斯科的普希金艺术博物馆。在他 37 岁的时候,因长期遭受心理疾病的折磨而。

7 图坦卡蒙(Tutankhamun)

图坦卡蒙的墓室可能是史上最重要的考古发现,这位少年法老被认为是史上最著名的人物之一。他的面部——更确切地说是他戴着的黄金面具并非成年人的形象,却极具标志性。最近,DNA 研究发现他因感染疟疾加重腿部伤病,于 19 岁死于腿伤的并发症。

6 克里斯托弗马洛(Christopher Marlowe)

克里斯托弗马洛是一位伊丽莎白时代的英国剧作家、诗人和翻译家,与莎士比亚齐名,被认为是当时最伟大的两位剧作家,并且还对莎士比亚有着巨大的影响。不幸的是,他在酒吧因为账单费用的问题与人产生争执而不幸去世,草草结束了他的一生,当时的他年仅 29 岁。现在很多学者认为因为莎士比亚的作品数量巨大内容经典,马洛的作品被文坛忽略掉了,但其实马洛也是一代大师。

5 圣女贞德(Joan of Arc)

圣女贞德,也被称为 " 奥尔良的少女 ",是法国历史上一位神奇式的女英雄。她在英法百年战争中扮演了相当重要的角色。在那之后,她被封为了罗马天主教的圣徒。贞德在贡比涅被与英国人结盟的勃艮第人所俘,并于 1431 年 5 月 30 日被处以火刑,年仅 19 岁,但是她的精神至今犹存。

4 戴安娜,威尔士公主(Diana, Princess of Wales)

戴安娜公主可以说是那个时候最受人爱戴、出镜率最高的女性了。不幸的是,在 1997 年,她在和身价百万的男友同行飙车的时候车祸身亡,当时才 36 岁。她不仅离开了她未尽的慈善事业,还离开了她心爱的儿子——威廉和亨利。

3. 拿破仑二世(Napoleon II)

作为拿破仑的继承者,拿破仑二世其实并未真正统治过法国,但是他却被法国人寄予厚望,希望他可以将法国恢复到和他父亲在位时一样强大鼎盛的模样。在 1832 年,他患上肺炎并多月卧床不起。1832 年 7 月 22 日,他油尽灯枯,因肺结核辞世,年仅 21 岁。

2 埃尔哈特(Amelia Earhart)

埃尔哈特是第一位飞跃大西洋的女飞行员。同时,她是全国妇女协会的成员之一,也是美国平等权利修正案的早期支持者。1937 年,她在太平洋上空飞行时神秘消失。当时她才 41 岁,虽然在一些人眼中这个年龄已不算年轻,但是她当时依旧风华正茂并正为女性平等权利而四处奔走。

1 亚历山大大帝(Alexander the Great)

在很多历史学家眼里,这位古希腊国王是世上最了不起的人物,是极少数未有败绩的人中的一个。在 15 年的征战生涯(从 18 岁到 33 岁)中,他成功占领了当时已知世界的绝大部分领土,并且他建立的帝国从希腊一直延伸到了印度。很多当代的史学家都认为,如果亚历山大大帝再活得就写,罗马帝国可能就不会灭亡,希腊联邦将在世界上扮演更为重要的角色。

翻译:Sonny & Esther

via list25

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